Question

15．已知p：3x²-4ax+a²＜0（a＞0），q：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+3＜0}\\{{x}^{2}-6x+8≥0}\end{array}\right.$，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据命题充分条件和必要条件的定义和关系，即可求实数a的取值范围．

解答 解：由3x²-4ax+a²＜0（a＞0），得（x-a）（3x-a）＜0，得$\frac{a}{3}$＜x＜a，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+3＜0}\\{{x}^{2}-6x+8≥0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{x≥4或x≤2}\end{array}\right.$，即1＜x≤2，
若p是q的必要条件，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{3}≤1}\\{a＞2}\end{array}\right.$即2＜a≤3，即实数a的取值范围是（2，3]．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式的性质是解决本题的关键．