Question

3．定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1-λ）b，λ∈[0，1]．已知向量$\overrightarrow{ON}$=$λ\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$，若不等式|$\overrightarrow{MN}$|≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”，若函数y=x-$\frac{2}{x}$在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为（　　）

• A． [$\sqrt{2}$-1，+∞）
• B． [$\sqrt{2}$+1，+∞）
• C． [3-2$\sqrt{2}$，+∞）
• D． [3+2$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 先得出M、N横坐标相等，再将恒成立问题转化为求函数的最值问题．

解答 解：由题意，M、N横坐标相等，|$\overrightarrow{MN}$|≤k恒成立，即|$\overrightarrow{MN}$|_max≤k，
由N在AB线段上，得A（1，-1），B（2，1），
∴直线AB方程为y=2（x-1）-1
∴|$\overrightarrow{MN}$|=|y₁-y₂|=|x-$\frac{2}{x}$-2（x-1）+1|=|x+$\frac{2}{x}$-3|，
∵x∈[1，2]，∴x+$\frac{2}{x}$∈[2$\sqrt{2}$，3]
∴x+$\frac{2}{x}$-3∈[2$\sqrt{2}$-3，0]
∴|$\overrightarrow{MN}$|_max=3-2$\sqrt{2}$
∴k≥3-2$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查向量知识的运用，考查基本不等式的运用，解答的关键是将已知条件进行转化，同时应注意恒成立问题的处理策略．