Question

14．已知圆A：（x+2）²+y²=1，圆B：（x-2）²+y²=49，动圆P与圆A，圆B均相切．
（1）求动圆圆心P的轨迹方程；
（2）已知点N（2，$\frac{5}{3}$），作射线AN，与“P点 轨迹”交于另一点M，求△MNB的周长．

Answer 1

分析 （1）设动圆圆心P（x，y），半径为r，而圆A内含于圆B，当动圆P与圆A外切，与圆B内切时，动点P是以A，B为焦点的椭圆；当动圆P与圆A内切，与圆B内切时，动点P是以A，B为焦点的椭圆．由此能求出动点P的轨迹方程．
（2）由椭圆定义知：|MA|+|MB|=8，|NA|+|NB|=6，由此能求出△MNB周长．

解答 解：（1）∵圆A：（x+2）²+y²=1，圆B：（x-2）²+y²=49，动圆P与圆A，圆B均相切，
∴圆A的圆心A（-2，0），半径R₁=1，圆B的圆心B（2，0），半径R₂=7，
设动圆圆心P（x，y），半径为r，而圆A内含于圆B，
当动圆P与圆A外切，与圆B内切时，有|PA|=r+1，|PB|=7-r，
∴|PA|+|PB|=8＞|AB|=4，
由椭圆定义知：动点P是以A，B为焦点的椭圆，其方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．（4分）
当动圆P与圆A内切，与圆B内切时，有|PA|=r-1，|PB|=7-r，
∴|PA|+|PB|=6＞|AB|=4，
由椭圆定义知：动点P是以A，B为焦点的椭圆，其方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$．
综上可知，动点P的轨迹方程为：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$或$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$．（8分）
（2）由题意N点在椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$上，A，B是两椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$和$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$的公共焦点，
由椭圆定义知：|MA|+|MB|=8，|NA|+|NB|=6，
两式相减得：|MN|+|MB|-|NB|=2，而$|{NB}|=\frac{5}{3}$，
故△MNB周长等于$|{MN}|+|{MB}|+|{NB}|=2+2|{NB}|=2+2×\frac{5}{3}=\frac{16}{3}$．（12分）

点评 本题考查动圆圆心的轨迹方程的求法，考查三角形周长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆、椭圆等知识点的合理运用．