Question

10．方程$\frac{sin2x}{cosx}$=$\frac{cos2x}{sinx}$的解集是{x|x=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，$\frac{k}{3}$余数不等于1}．

Answer 1

分析 由三角函数中的恒等变换应用化简已知可得cos3x=0，由余弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：∵$\frac{sin2x}{cosx}$=$\frac{cos2x}{sinx}$，
∴sin2xsinx=cos2xcosx，
∴cos2xcosx-sin2xsinx=0，
即 cos（2x+x）=0，
即 cos3x=0，
∴3x=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即 x=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∵sinx和cosx都不等于0，
∴x不等于$\frac{kπ}{2}$，
∵k=1，x=$\frac{π}{2}$，
k=4，x=$\frac{3π}{2}$，
…都不符合题意，
∴x=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{6}$，$\frac{k}{3}$余数不等于1，
∴方程的解集是{x|x=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，$\frac{k}{3}$余数不等于1}．
故答案为：{x|x=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，$\frac{k}{3}$余数不等于1}．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，余弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．