Question

15．求函数y=x-1+$\sqrt{2x+1}$的值域．

Answer 1

分析 法一：换元，令$\sqrt{2x+1}=t$，t≥0，这样可解出x，从而得到y=$\frac{1}{2}（t+1）^{2}-2$，根据t≥0即可得出原函数的值域．
法二：利用函数y=x-1，和y=$\sqrt{2x+1}$在[$-\frac{1}{2}$，+∞）上都单调递增的性质可解．

解答 解：法一：令$\sqrt{2x+1}=t$，t≥0，则$x=\frac{1}{2}（{t}^{2}-1）$；
∴$y=\frac{1}{2}（{t}^{2}-1）-1+t=\frac{1}{2}（t+1）^{2}-2$；
设y=f（t），∵t≥0；
∴$f（t）≥f（0）=-\frac{3}{2}$；
∴原函数的值域为[$-\frac{3}{2}$，+∞）；
法二：函数y=x-1，和y=$\sqrt{2x+1}$在[$-\frac{1}{2}$，+∞）上都单调递增；
∴原函数在[$-\frac{1}{2}，+∞$）上单调递增；
设y=f（x），则f（x）$≥f（-\frac{1}{2}）=-\frac{3}{2}$；
∴原函数的值域为[$-\frac{3}{2}$，+∞）．

点评 考查函数值域的概念，换元求函数值域的方法，要确定换元后新变量的范围，配方求二次函数值域的方法．