Question

20．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos（2x+$\frac{π}{3}$）-cos²x，求函数的最小正周期及最值，单增区间．

Answer 1

分析 由三角函数中的恒等变换应用化简可得函数解析式为f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）$-\frac{1}{2}$，由三角函数的周期性及其求法可求函数的最小正周期，由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，可得-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，可得f（x）的单调增区间，由正弦函数的图象和性质即可求得最值．

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos（2x+$\frac{π}{3}$）-cos²x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-[$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x]-$\frac{1+cos2x}{2}$
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x-$\frac{1}{2}$
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）$-\frac{1}{2}$，
∴函数的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
∴由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，可得-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，可得f（x）的单调增区间为[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]（k∈Z），
∴函数的最大值为$\frac{3}{2}$，最小值为-$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质的应用，属于基本知识的考查．