Question

4．已知数列{a_n}满足a₁=0，a₂=2，且对任意m，n∈N^*，都有a_2n-1+a_2m-1=2a_m+n-1+2（m-n）²．
（Ⅰ）求a₃；
（Ⅱ）设b_n=a_2n+1-a_2n-1（n∈N^*），证明：{b_n}是等差数列；
（Ⅲ）试判断关于n的方程a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ+8（n∈N^*）是否有解？请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，令n=1，m=2，得出方程，求出a₃的值；
（Ⅱ）【方法一】由题意，推出b_n+1-b_n为常数，即可得出{b_n}是等差数列；【方法二】计算b_n+1-b_n的值，由已知得出b_n+1-b_n为常数，从而得出{b_n}是等差数列；
（Ⅲ）【解法一】由已知，令m=1，求出a_n的表达式，假设方程a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ+8（n∈N^*）有解，构造函数，利用函数的单调性和根的存在性定理，求出该函数的零点，从而判断假设不成立，方程无解．
【解法二】由题意知，a_2n+1-a_2n-1=8n-2，利用累加法求出a_n的解析式，以下按照解法一进行即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a_2n-1+a_2m-1=2a_m+n-1+2（m-n）²，
∴令n=1，m=2，得a₁+a₃=2a₂+2，
又∵a₁=0，a₂=2，∴a₃=6；
（Ⅱ）证明：【方法一】∵a_2n-1+a_2m-1=2a_m+n-1+2（m-n）²，
∴用n+2代替m，则a_2n-1+a_2n+3=2a_2n+1+8；
∴（a_2n+3-a_2n+1）-（a_2n+1-a_2n-1）=8，
∴b_n+1-b_n=8为常数，n∈N^*，
又b₁=a₃-a₁=6，
∴{b_n}是首项为6，公差为8的等差数列；
【方法二】∵b_n+1-b_n=（a_2n+3-a_2n+1）-（a_2n+1-a_2n-1）
=（a_2n+3+a_2n-1）-2a_2n+1，n∈N^*；
令m=n+2，由已知得（a_2n+3+a_2n-1）-2a_2n+1=8，
∴b_n+1-b_n=8为常数，
又b₁=a₃-a₁=6，
∴{b_n}是首项为6，公差为8的等差数列；
（Ⅲ）【解法一】∵a_2n-1+a_2m-1=2a_m+n-1+2（m-n）²，
∴令m=1，则a_2n-1+a₁=2a_n+2（n-1）²，
∴a_n=$\frac{{a}_{2n-1}{+a}_{1}}{2}$-（n-1）²
=$\frac{{（a}_{2n-1}{-a}_{2n-3}）+{（a}_{2n-3}{-a}_{2n-5}）+…+{（a}_{3}{-a}_{2}）+{2a}_{1}}{2}$-（n-1）²
=$\frac{{b}_{n-1}{+b}_{n-2}+…{+b}_{1}}{2}$-（n-1）²
=n²-n；
假设关于n的方程a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ+8（n∈N^*）有解n₀∈N^*，
即${（\frac{1}{2}）}^{n}$+8-n²+n=0有解n₀，
则x=n₀是函数f（x）=${（\frac{1}{2}）}^{x}$+8-x²+x（x≥1）的零点；
设1≤x₁＜x₂，
∵f（x₁）-f（x₂）=[${（\frac{1}{2}）}^{{x}_{1}}$-${（\frac{1}{2}）}^{{x}_{2}}$]+（x₂-x₁）（x₂+x₁-1），
且${（\frac{1}{2}）}^{{x}_{1}}$-${（\frac{1}{2}）}^{{x}_{2}}$＞0，x₂+x₁-1≥1＞0，x₂-x₁＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）=${（\frac{1}{2}）}^{x}$+8-x²+x在[1，+∞）上是单调减函数，
∴f（x）=${（\frac{1}{2}）}^{x}$+8-x²+x（x≥1）至多有一个零点；
∵f（3）•f（4）=$\frac{17}{8}$×（-$\frac{63}{16}$）＜0，
∴f（x）=${（\frac{1}{2}）}^{x}$+8-x²+x（x≥1）在区间（3，4）内至少存在一个零点，
∴f（x）=${（\frac{1}{2}）}^{x}$+8-x²+x（x≥1）在区间（3，4）内存在唯一一个零点x=n₀，
且3＜n₀＜4，这与n₀∈N^*矛盾，∴假设不成立，
即关于n的方程a_n=${（\frac{1}{2}）}^{n}$+8（n∈N^*）无解．
【解法二】由题意知，a_2n+1-a_2n-1=8n-2，
令n=1，2，3，…，n-1，
得出n-1个等式，累加可得a_2n-1=（4n-2）（n-1）-6，
∵a_2n-1+a_2m-1=2a_m+n-1+2（m-n）²，
令m=1，则a_2n-1+a₁=2a_n+2（n-1）²，
∴a_n=n²-n；以下解答与解法一相同．

点评 本题考查了等差数列的定义与通项公式的应用问题，也考查了构造函数思想的应用问题，考查了函数的零点以及根的存在性定理的应用问题，是综合性题目．