【题目】已知函数与函数的图像有两个不同的交点, ,且.
(1)求实数的取值范围;
(2)证明: .
【答案】(1) ;(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)函数与函数的图象有两个不同的交点等价于;方程有两个不同的根,设,利用导数研究函数的单调性,结合函数图象可得出实数的取值范围;(2)根据(1)可知,
设利用导数可得在上单调递增,当时, ,即,所以,从而可得结论.
试题解析:(1)根据题意,方程有两个不同的根,
设,则,
根据,所以在上单调递增;
,所以在上单调递减.
所以时, 取得极小值.
又因为时, , ,作出的大致图像如图所示,
所以.
(2)根据(1)可知,
设 ,
则.
设,则,
根据,则在上单调递减,所以当时, ,
所以,所以在上单调递增,
则当时, ,即,所以,
又因为在上单调递增,所以,即.
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【题目】设椭圆的左焦点为F,左顶点为A,已知,其中O为坐标原点,e为椭圆的离心率.
求椭圆C的方程;
是否存在斜率为的直线l,使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M,N时,能在直线上找到一点P,在椭圆C上找到一点Q,满足?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
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【题目】松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中,通车后将给市民出行带来便利,已知某条线路通车后,电车的发车时间间隔t(单位:分钟)满足,市场调研测试,电车载客量与发车时间间隔t相关,当时电车为满载状态,载客为400人,当时,载客量会少,少的人数与的平方成正比,且发车时间间隔为2分钟时的载客为272人,记电车载客为.
(1)求的表达式;
(2)若该线路分钟的净收益为(元),问当发车时间间隔为多少时,该线路每分钟的净收益最大?
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【题目】下列四个说法中,错误的选项有( ).
A.若函数在上是单调增函数,在上也是单调增函数,则函数在R上是单调增函数
B.已知函数的解析式为,它的值域为,这样的函数有无数个
C.把函数的图像向右平移个单位长度,就得到了函数的图像
D.若函数为奇函数,则一定有
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【题目】已知函数,.
(1)若,且直线是曲线的一条切线,求实数的值;
(2)若不等式对任意恒成立,求的取值范围;
(3)若函数有两个极值点,,且,求的取值范围.
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【题目】进入12月以业,在华北地区连续出现两次重污染天气的严峻形势下,我省坚持保民生,保蓝天,各地严格落实机动车限行等一系列“管控令”,某市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的态度,随机采访了200名市民,将他们的意见和是否拥有私家车的情况进行了统计,得到如下的列联表:
赞同限行 | 不赞同限行 | 合计 | |
没有私家车 | 90 | 20 | 110 |
有私家车 | 70 | 40 | 110 |
合计 | 160 | 60 | 220 |
(1)根据上面的列联表判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“对限行的态度与是否拥有私家车有关”;
(2)为了了解限行之后是否对交通拥堵、环境染污起到改善作用,从上述调查的不赞同限行的人员中按是否拥有私家车分层抽样抽取6人,再从这6人中随机抽出3名进行电话回访,求3人中至少有1人没有私家车的概率.
附: ,其中.
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【题目】是抛物线为上的一点,以S为圆心,r为半径做圆,分别交x轴于A,B两点,连结并延长SA、SB,分别交抛物线于C、D两点.
求抛物线的方程.
求证:直线CD的斜率为定值.
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