Question

【题目】设椭圆的左焦点为F，左顶点为A，已知，其中O为坐标原点，e为椭圆的离心率．

求椭圆C的方程；

是否存在斜率为的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在

【解析】

（1）由整理得：,再由椭圆的简单性质列方程求解。

（2）联立直线与椭圆方程，表示出及，利用得到四点坐标之间的关系，从而表示出点Q的坐标，由椭圆方程即可判断是否存在点Q满足题意。

解：（1）由题意知：，

又因为，,解得

故椭圆的方程为

（2）椭圆上不存在这样的点.

设直线的方程为,

联立，得,

，得.

设，则，.

由知为平行四边形,设为的中点,则它也是的中点.

于是设,,则,

即，可得.因为,所以.

若在椭圆上，则，矛盾.

因此,不存在满足条件的点．