Question

如图，已知椭圆C₁的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C₂的短轴为MN，且C₁，C₂的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C₁交于两点，与C₂交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，且BO∥AN，则离心率e的范围是（　　）

• A、

  2

  2

  ＜e＜1
• B、0＜e＜

  2

  2

• C、0＜e＜

  1

  2

• D、

  1

  2

  ＜e＜1

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出A，B的坐标，利用BO∥AN，求出t=a(1-

1

e2

)，结合|t|＜a，0＜e＜1，即可得出结论．

解答： 解：设直线为x=t，则
由题意，C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，C₂：

b2y2

a4

+

x2

a2

=1（a＞b＞0），
∴A（t，

a

b

a2-t2

），B（t，

b

a

a2-t2

），
∵BO∥AN，
∴

b a a2-t2

t

=

a b a2-t2

t-a

，
∴t=a(1-

1

e2

)，
∵|t|＜a，0＜e＜1，
∴

1-e2

e2

＜1，
∴

2

2

＜e＜1．
故选：A．

点评：本题考查椭圆的简单性质，考查学生的计算能力，确定t=a(1-

1

e2

)是关键．