Question

14．校运动会招聘志愿者，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率是$\frac{2}{3}$，甲、乙两人都不能被录用的概率为$\frac{1}{12}$，丙、乙两人都能被录用的概率为$\frac{3}{8}$，且三人是否录用相互独立．
（1）求乙、丙两人各自能被录用的概率；
（2）求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率．

Answer 1

分析 （1）设乙、丙能被录用的概率分别为x，y，根据题意，方程组，解可得答案；
（2）设甲、乙、丙能被录用的事件分别为A、B、C，分析可得，三人至少有两人能被录用包括ABC、$\overline{A}$BC、A$\overline{B}$C、AB$\overline{C}$四种彼此互斥的情况，分别求得各种情况的概率，进而由互斥事件概率的加法公式计算可得答案．

解答 解：（1）设乙、丙能被录用的概率分别为x，y，
则$\left\{\begin{array}{l}{（1-\frac{2}{3}）×（1-x）=\frac{1}{12}}\\{xy=\frac{3}{8}}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{4}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴乙、丙能被录用的概率分别为$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}$，
（2）设甲、乙、丙能被录用的事件分别为A、B、C，则P（A）=$\frac{2}{3}$，P（B）=$\frac{3}{4}$，P（C）=$\frac{1}{2}$，
且A、B、C相互独立，三人至少有两人能被录用包括ABC、$\overline{A}$BC、A$\overline{B}$C、AB$\overline{C}$四种彼此互斥的情况，
则其概率为P（ABC+$\overline{A}$BC+A$\overline{B}$C+AB$\overline{C}$）=P（ABC）+P（$\overline{A}$BC）+P（A$\overline{B}$C）+P（AB$\overline{C}$）=$\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}$+$\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{17}{24}$．

点评 本题考查相互独立事件、互斥事件的概率的计算，解题的关键在于明确事件之间的关系．