Question

5．已知过抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点F的直线m交抛物线于点M、N，|MF|=2|NF|=3，则抛物线C的方程为（　　）

• A． x²=8y
• B． x²=2y
• C． x²=4y
• D． x²=2$\sqrt{2}$y

Answer 1

分析 设直线m的方程为y=kx+$\frac{p}{2}$，联立直线与抛物线，得x²-2pky-p²=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由此利用抛物线过焦点弦的弦长公式和抛物线弦长公式能求出p=2，k=±$\frac{1}{2}$，由此能求出抛物线C的方程．

解答 解：设直线m的方程为y=kx+$\frac{p}{2}$，
联立直线与抛物线，得x²-2pky-p²=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+p=2pk²+p，
∵|MF|=2，|NF|=3，
∴|MN|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）（4{p}^{2}{k}^{2}+4{p}^{2}）}$=5，y₁+y₂=2pk²+p=5，
解得p=2，k=±$\frac{1}{2}$，
∴抛物线C的方程为x²=4y．
故选：C．

点评 本题考查抛物线方程的求法，考查学生的计算能力，注意弦长公式的合理运用．