Question

16．已知函数f（x）=x³+ax²-x+c，且$a=f'（\frac{2}{3}）$．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，根据f′（$\frac{2}{3}$）=a，求出a的值即可；（2）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax-1，
∴f′（$\frac{2}{3}$）=$\frac{4}{3}$+$\frac{4}{3}$a-1=a，
解得：a=-1；
（2）由（1）得：f（x）=x³-x²-x+c，
f′（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-$\frac{1}{3}$，令f′（x）＜0，解得：-$\frac{1}{3}$＜x＜1，
∴函数f（x）在（-∞，-$\frac{1}{3}$），（1，+∞）递增，在（-$\frac{1}{3}$，1）递减．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．