Question

11．设f（x）=ax³+bx²+cx的极小值是-5，其导函数的图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对任意的x∈[-4，4]都有f（x）≥m²-6m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，结合图象得到方程组，解出a，b，c的值即可；
（2）先求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值，得到关于m的不等式，求出m的范围即可．

解答 解：（1）因为 f′（x）=3ax²+2bx+c，
由题意，$\left\{\begin{array}{l}f'（{-3}）=0\\ f'（1）=0\\ f（1）=-5\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}27a-6b+c=0\\ 3a+2b+c=0\\ a+b+c=-5\end{array}\right.$，
解得a=1，b=3，c=-9，
∴f（x）=x³+3x²-9x；
（2）由（1）得：f′（x）=3x²+6x-9，
由图可知，函数在[-4，-3]单调递增，在[-3，1]单调递减，在[1，4]单调递增，
故f_min（x）=f（-4）或f（1），
因为  f（-4）=20，f（1）=-5，故f_min（x）=f（1）=-5，
对任意的x∈[-4，4]都有f（x）≥m²-6m恒成立，
等价为${f_{min}}（x）=-5≥{m^2}-6m$，
解得m∈[1，5]．

点评 本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．