Question

2．已知D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$．设CD与BE相交于点F，$\overrightarrow{BF}=λ\overrightarrow{FE}$，则实数λ=6．

Answer 1

分析 根据条件存在实数k：$\overrightarrow{BF}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DF}$=$-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{DC}=k\overrightarrow{AC}-\frac{k}{3}\overrightarrow{AB}$，同理存在实数μ：$\overrightarrow{BF}=μ\overrightarrow{BE}=\frac{2μ}{3}\overrightarrow{AC}-μ\overrightarrow{AB}$，从而由平面向量基本定理得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2μ}{3}}\\{\frac{2}{3}+\frac{k}{3}=μ}\end{array}\right.$，这样便可解出$μ=\frac{6}{7}$，从而便得出λ=6．

解答 解：如图，根据条件：
$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DF}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DF}$；
D，F，C三点共线，∴$\overrightarrow{DF}=k\overrightarrow{DC}=k（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}）$=$k（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}）=k\overrightarrow{AC}-\frac{k}{3}\overrightarrow{AB}$=$k\overrightarrow{AC}-\frac{k}{3}\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{BF}=k\overrightarrow{AC}-（\frac{2}{3}+\frac{k}{3}）\overrightarrow{AB}$；
同理，B，F，E三点共线，∴$\overrightarrow{BF}=μ\overrightarrow{BE}=μ（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}）$=$μ（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}）=\frac{2μ}{3}\overrightarrow{AC}-μ\overrightarrow{AB}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2μ}{3}}\\{\frac{2}{3}+\frac{k}{3}=μ}\end{array}\right.$；
解得$μ=\frac{6}{7}$；
∴$\overrightarrow{BF}=\frac{6}{7}\overrightarrow{BE}$；
∴$\overrightarrow{BF}=6\overrightarrow{FE}$；
∴λ=6．
故答案为：6．

点评 考查向量加法、减法的几何意义，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理．