Question

14．若不等式（-1）ⁿa＜2+$\frac{（-1）^{n+1}}{n}$对于任意正整数n都成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $[-2，\frac{3}{2}）$
• B． $（-2，\frac{3}{2}]$
• C． [-3，2]
• D． （-3，1）

Answer 1

分析 要使不等式${（-1）^n}a＜2+\frac{{{{（-1）}^{n+1}}}}{n}$对于任意正整数n恒成立，讨论n为奇数和偶数，令f（n）=（-1）ⁿ•a-$\frac{（-1）^{n+1}}{n}$，
求得最大值，由最大值小于2，列出不等式求出a的范围即可．

解答 解：由不等式${（-1）^n}a＜2+\frac{{{{（-1）}^{n+1}}}}{n}$得：（-1）ⁿ•a-$\frac{（-1）^{n+1}}{n}$＜2，
令f（n）=（-1）ⁿ•a-$\frac{（-1）^{n+1}}{n}$，
当n取奇数时，f（n）=-a-$\frac{1}{n}$；
当n取偶数时，f（n）=a+$\frac{1}{n}$．
所以f（n）只有两个值，当-a-$\frac{1}{n}$＜a+$\frac{1}{n}$时，f（n）_max=a+$\frac{1}{n}$，
即a+$\frac{1}{n}$＜2，得到a＜$\frac{3}{2}$；
当-a-$\frac{1}{n}$≥a+$\frac{1}{n}$时，即-a-$\frac{1}{n}$＜2，得a≥-2，
所以a的取值范围为-2≤a＜$\frac{3}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查学生理解函数恒成立时的条件，利用分类讨论的数学思想解决数学问题的能力．