Question

5．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-2t\end{array}\right.$（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ．直线l与圆相交于A，B两点，求线段AB的长．

Answer 1

分析 由直线l的参数方程消去参数t化为直线l的普通方程；圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$可把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；利用点到直线的距离公式可得圆心C（1，0）到直线l的距离为d，再利用弦长公式可得|AB|=$2\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$．

解答 解：直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-2t\end{array}\right.$（t为参数）．
消去参数t化为直线l的普通方程为：2x+y-4=0； 
圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，
∴圆C的z直角坐标方程为：（x-1）²+y²=1；
圆心C（1，0）到直线l的距离为：$d=\frac{|2-4|}{{\sqrt{{1^2}+{2^2}}}}=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$；
∴|AB|=$2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{1-\frac{4}{5}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查了直线的参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．