Question

17．若${（x-\frac{{\sqrt{a}}}{x^2}）^6}$的展开式的常数项为60，则a=4．

Answer 1

分析 先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值，再由展开式的常数项为60，求出常数a的值．

解答 解：∵${（x-\frac{{\sqrt{a}}}{x^2}）^6}$展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{6}^{r}$•x^6-r•$（-\sqrt{a}）^{r}$•x^-2r=$（-\sqrt{a}）^{r}$•${C}_{6}^{r}$•x^6-3r，
令6-3r=0，可得 r=2，
∴展开式的常数项为$（-\sqrt{a}）^{2}•{C}_{6}^{2}$=60，解得a=4．
故答案为：4．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．