Question

16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4sin²$\frac{A-B}{2}$+4sinAsinB=2+$\sqrt{2}$．
（1）求角C的大小；
（2）已知b=4，△ABC的面积为8，求边长c的值．

Answer 1

分析 （1）由倍角公式及两角差的余弦函数公式化简已知等式可得$cos（A+B）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，解得$A+B=\frac{3π}{4}$，由三角形内角和定理即可得解．
（2）利用三角形面积公式解得$a=4\sqrt{2}$，由余弦定理得C²=a²+b²-2abcosC即可求得c的值．

解答 解：（1）由已知得$2[1-cos（A-B）]+4sinAsinB=2+\sqrt{2}$，
化简得$-2cosAcosB+2sinAsinB=\sqrt{2}$，
故$cos（A+B）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以$A+B=\frac{3π}{4}$，
因为A+B+C=π，所以$C=\frac{π}{4}$．
（2）因为${S_△}=\frac{1}{2}absinC$，由S_△ABC=8，b=4，$C=\frac{π}{4}$，
所以：8=$\frac{1}{2}×a×4×\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以解得：$a=4\sqrt{2}$，
由余弦定理得C²=a²+b²-2abcosC，
所以c²=32+16-2×$4\sqrt{2}×4×\frac{\sqrt{2}}{2}$=16．
所以解得：$\begin{array}{l}c=4\end{array}$．

点评 本题主要考查了倍角公式及两角差的余弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式及余弦定理的综合应用，属于基本知识的考查．