Question

15．已知数列{a_n}的首项为a₁=1，且点A_n（a_n，a_n+1）在函数y=$\frac{x}{x+1}$的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：直线A_nA_n+1的斜率随n的增大而增大；
（3）令b_n=$\frac{（n+1）{{a}_{n}}^{2}}{4（n+2）^{2}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：对于任意的n∈N^*，都有T_n＜$\frac{5}{64}$．

Answer 1

分析 （1）点A_n（a_n，a_n+1）在函数y=$\frac{x}{x+1}$的图象上，可得a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，两边取倒数，再利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用斜率计算公式可得直线A_nA_n+1的斜率k_n=$\frac{{a}_{n+2}-{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2（n+1）}$，由于数列$\{\frac{1}{n+1}\}$为单调递减，即可得出单调性；
（3）由于b_n=$\frac{n+1}{4（n+2）^{2}{n}^{2}}$=$\frac{1}{16}$（$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}$），利用“裂项求和”与不等式的性质即可得出．

解答 （1）解：∵点A_n（a_n，a_n+1）在函数y=$\frac{x}{x+1}$的图象上，∴a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，
两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）=n，∴a_n=$\frac{1}{n}$．
（2）证明：直线A_nA_n+1的斜率k_n=$\frac{{a}_{n+2}-{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}}$=$\frac{n}{2（n+1）}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2（n+1）}$，
由于数列$\{\frac{1}{n+1}\}$为单调递减，∴数列$\{\frac{n}{2（n+1）}\}$为单调递增数列．
（3）证明：b_n=$\frac{（n+1）{{a}_{n}}^{2}}{4（n+2）^{2}}$=$\frac{n+1}{4（n+2）^{2}{n}^{2}}$=$\frac{1}{16}$（$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}$），
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=$\frac{1}{16}$[$（1-\frac{1}{{3}^{2}}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}}-\frac{1}{{4}^{2}}）$+$（\frac{1}{{3}^{2}}-\frac{1}{{5}^{2}}）$+…+$（\frac{1}{（n-1）^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}）$+$（\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}）$]
=$\frac{1}{16}$[$1+\frac{1}{4}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$]＜$\frac{5}{64}$．
∴对于任意的n∈N^*，都有T_n＜$\frac{5}{64}$．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式、“裂项求和”、数列的单调性、斜率计算公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．