Question

5．函数f（x）=2x²-2ax+3在区间[-1，1]上最小值记为g（a）．
（1）求g（a）的函数表达式；
（2）求g（a）的最大值．

Answer 1

分析 （1）通过讨论a的范围，得到函数f（x）的单调区间，从而求出g（a）的表达式；（2）结合g（a）的表达式，求出g（a）的最大值即可．

解答 解：（1）①当a＜-2时，函数f（x）的对称轴x=$\frac{a}{2}$＜-1，则g（a）=f（-1）=2a+5；
②当-2≤a≤2时，函数f（x）的对称轴x=$\frac{a}{2}$∈[-1，1]，则g（a）=f（$\frac{a}{2}$）=3-$\frac{{a}^{2}}{2}$；
③当a＞2时，函数f（x）的对称轴x=$\frac{a}{2}$＞1，则g（a）=f（1）=5-2a．
综上所述，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{2a+5，（a＜-2）}\\{3-\frac{{a}^{2}}{2}，（-2≤a≤2）}\\{5-2a，（a＞2）}\end{array}\right.$；
（2）①当a＜-2时，g（a）＜1；
②当-2≤a≤2时，g（a）∈[1，3]；
③当a＞2时，g（a）＜1．
由①②③可得g（a）_max=3．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的最值问题，是一道基础题．