Question

10．若钝角三角形ABC三内角A，B，C的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比为m，则m的取值范围是（　　）

• A． 1＜m≤2
• B． 1＜m＜2
• C． m＞2
• D． m≥2

Answer 1

分析 设三角形的三边从小到大依次为a，b，c，根据A、B、C的度数成等差数列得到B为60°，然后利用余弦定理表示出cosB得到一个关系式，根据三角形为钝角三角形得到a²+b²-c²＜0，把求得的关系式代入不等式即可求得最大边c与最小边a比值即m的范围．

解答 解：设三角形的三边从小到大依次为a，b，c，
因为三内角的度数成等差数列，所以2B=A+C，则A+B+C=3B=180°，
故可得B=60°，根据余弦定理得：cosB=cos60°=$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，
于是b²=a²+c²-ac，
又因为△ABC为钝角三角形，故a²+b²-c²＜0，
于是2a²-ac＜0，即$\frac{c}{a}$＞2
则m=$\frac{c}{a}＞2$即m＞2，
故选：C．

点评 本题主要考查解三角形的应用，利用等差数列的性质及钝角三角形三边的平方关系，灵活运用余弦定理化简求值，是解决本题的关键．