Question

20．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁、C₂的极坐标方程分别为$ρcos（θ-\frac{π}{3}）=1$，ρ=1．
（1）写出曲线C₁、C₂的直角坐标方程．
（2）判断曲线C₁、C₂的位置关系．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$及其和差公式即可得出直角坐标方程；
（2）利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离d，即可判断出位置关系．

解答 解：（1）曲线C₁的极坐标方程为$ρcos（θ-\frac{π}{3}）=1$，展开为$\frac{1}{2}ρcosθ$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$ρsinθ=1，化为直角坐标方程：$x+\sqrt{3}y$=2．
曲线C₂的极坐标方程为ρ=1，化为直角坐标方程：x²+y²=1．
（2）圆心（0，0）到直线的距离d=$\frac{2}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}$=1=R．
∴直线与圆相切．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、和差公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．