Question

15．在直径AB为2的圆上有长度为1的动弦CD，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$的取值范围是[-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 建立直角坐标系，设出∠BOC=x，用x表示C，D的坐标，求出$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$，然后化简，即可求解它的范围．

解答 解：如图建立平面直角坐标系：设∠BOC=x，则C（cosx，sinx），∠BOD=x+60°，D（cos（x+60°），sin（x+60°）），A（-1，0），B（1，0），
则$\overrightarrow{AC}$=（cosx+1，sinx），$\overrightarrow{BD}$=（cos（x+60°）-1，sin（x+60°）），
则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=（cosx+1）[cos（x+60°）-1]+sinxsin（x+60°）
=cosxcos（x+60°）-cosx+cos（x+60°）-1+sinxsin（x+60°）
=cos60°-cosx+cos（x+60°）-1
=-cos（x-60°）-$\frac{1}{2}$，
所以$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$的取值范围是[-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$]；
故答案为：[-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查向量数量积的应用，考查转化思想计算能力，建立直角坐标系，利用坐标运算是解答本题的关键．