Question

4．在数列{a_n}中，a₁+a₂+…+a_n=2a_n-1，且数列{b_n}满足b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=a_n（n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过a₁+a₂+…+a_n-1=a_n-1与a₁+a₂+…+a_n=a_n+1-1作差可得a_n+1=2a_n，在原式中令n=1进而可知a_n=2^n-1，同理可得b_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{\frac{{2}^{n}}{4n}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

解答 解：∵a₁+a₂+…+a_n=2a_n-1，
∴a₁+a₂+…+a_n-1=a_n-1，
∴a₁+a₂+…+a_n=a_n+1-1，
两式相减得：a_n=a_n+1-1-（a_n-1）=a_n+1-a_n，
∴a_n+1=2a_n，
又∵a₁=2a₁-1，即a₁=1，
∴a_n=2^n-1，
∴b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=2^n-1，
∴b₁+2b₂+3b₃+…+（n+1）b_n+1=2ⁿ，
两式相减得：（n+1）b_n+1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
∴b_n+1=$\frac{{2}^{n-1}}{n+1}$=$\frac{{2}^{（n+1）-2}}{n+1}$，
∴当n≥2时，b_n=$\frac{{2}^{n-2}}{n}$=$\frac{{2}^{n}}{4n}$，
又∵b₁=a₁=1，
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{\frac{{2}^{n}}{4n}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查求数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．