Question

12．（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{3}{x}}$）⁵的展开式的第3项小于第4项，则x的取值范围是0＜x＜1．

Answer 1

分析 求出展开式的第3项、第4项，利用（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{3}{x}}$）⁵的展开式的第3项小于第4项，求出x的取值范围．

解答 解：（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{3}{x}}$）⁵展开式中，第3项${C}_{5}^{2}•（\sqrt{x}）^{3}•（\frac{1}{\root{3}{x}}）^{2}$=10${x}^{\frac{5}{6}}$，第4项${C}_{5}^{3}•（\sqrt{x}）^{2}•（\frac{1}{\root{3}{x}}）^{3}$=10，
因为（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{3}{x}}$）⁵的展开式的第3项小于第4项，
所以10${x}^{\frac{5}{6}}$＜10，
解得x＜1，
因为x＞0，
所以x的取值范围是0＜x＜1．
故答案为：0＜x＜1．

点评 本题是基础题，考查二项式定理系数的性质，考查不等式的解法，考查计算能力．