Question

2．已知定义在R上的奇函数f（x）满足，当x≥0时，f（x）=2^x+t（t为常数），则f（m）＞0的一个充分不必要条件是（　　）

• A． m＜3
• B． -2＜m＜2
• C． m＜2
• D． m＞2

Answer 1

分析 根据奇函数的结论：f（0）=0求出t，设x＜0则-x＞0，利用奇函数的性质求出函数f（x）的解析式，利用分类讨论求出f（m）＞0的解集，结合答案项选出正确答案．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=2^x+t（t为常数），
∴f（0）=2⁰+t=0，解得t=-1，则当x≥0时，f（x）=2^x-1，
设x＜0，则-x＞0，
∴f（x）=-f（-x）=-（2^-x-1）=-2^-x+1，
又f（m）＞0，则$\left\{\begin{array}{l}{m≥0}\\{{2}^{m}-1＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{{-2}^{-m}+1＞0}\end{array}\right.$，
解得m＞0，
∴结合答案项，f（m）＞0的一个充分不必要条件是m＞2，
故选：D．

点评 本题考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，充要条件的判断，以及分类讨论求不等式的解集，属于中档题．