Question

10．数列{a_n}的通项公式为a_n=（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ（n∈N^*），求证：
（1）{a_n}为递增数列；
（2）2≤a_n＜3．

Answer 1

分析 （1）先建立一个不等式：设b＞a＞0，于是对于任意自然数n有$\frac{{b}^{n+1}-{a}^{n+1}}{b-a}$＜（n+1）bⁿ，令$a=1+\frac{1}{n+1}$，b=1+$\frac{1}{n}$．代入化简即可证明．
（2）a_n=（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ=$1+{∁}_{n}^{1}•\frac{1}{n}$+${∁}_{n}^{2}（\frac{1}{n}）^{2}$≥$1+{∁}_{n}^{1}•\frac{1}{n}$=2．另一方面a_n≤2+$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$，即可证明．

解答 证明：（1）先建立一个不等式：设b＞a＞0，于是对于任意自然数n有$\frac{{b}^{n+1}-{a}^{n+1}}{b-a}$＜（n+1）bⁿ，
整理为：aⁿ⁺¹＞bⁿ[（n+1）a-nb]，
令$a=1+\frac{1}{n+1}$，b=1+$\frac{1}{n}$．
∴（n+1）a-nb=$（n+1）•（1+\frac{1}{n+1}）$-n$（1+\frac{1}{n}）$=1，
∴$（1+\frac{1}{n+1}）^{n+1}$＞$（1+\frac{1}{n}）^{n}$，即a_n+1＞a_n．
∴{a_n}为递增数列；
（2）a_n=（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ=$1+{∁}_{n}^{1}•\frac{1}{n}$+${∁}_{n}^{2}（\frac{1}{n}）^{2}$≥$1+{∁}_{n}^{1}•\frac{1}{n}$=2．
另一方面a_n≤2+$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$=2+$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=3-$\frac{1}{n}$＜3．
∴2≤a_n＜3．

点评 本题考查了构造一个不等式证明数列单调性的方法、二项式定理的应用、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．