Question

2．（1）若（x+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式中前三项的系数成等差数列．求n的值；并求展开式中系数最大的项．
（2）已知a＞1，求证：$\sqrt{a+1}-\sqrt{a}＜\sqrt{a}-\sqrt{a-1}$．

Answer 1

分析 （1）利用二项展开式的通项公式求出展开式前三项的系数，列出方程求出n；设出系数最大的项，据最大的系数大于等于它前一项的系数同时大于等于它后一项的系数，列出不等式组求出r，求出系数最大的项；
（2）利用作差法，即可证明结论．

解答 （1）解：由题设，得${C}_{n}^{0}+\frac{1}{4}{C}_{n}^{2}=2×\frac{1}{2}×{C}_{n}^{1}$，
即n²-9n+8=0，解得n=8，n=1（舍去）．…（2分）
设第r+1的系数最大，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{2}^{r}}{C}_{n}^{r}≥\frac{1}{{2}^{r+1}}{C}_{n}^{r+1}}\\{\frac{1}{{2}^{r}}{C}_{n}^{r}≥\frac{1}{{2}^{r-1}}{C}_{n}^{r-1}}\end{array}\right.$…（4分）
即$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{8-r}≥\frac{1}{2（r+1）}\\ \frac{1}{2r}≥\frac{1}{9-r}\end{array}\right.$解得r=2或r=3．…（6分）
所以系数最大的项为T₃=7x⁵，${T_4}=7{x^{\frac{7}{2}}}$…（8分）
（2）证明：∵（$\sqrt{a+1}$-$\sqrt{a}$）-（$\sqrt{a}$-$\sqrt{a-1}$）=
=$\frac{{\sqrt{a-1}-\sqrt{a+1}}}{{（\sqrt{a+1}+\sqrt{a}）（\sqrt{a}+\sqrt{a-1}）}}＜0$，
∴$\sqrt{a+1}-\sqrt{a}＜\sqrt{a}-\sqrt{a-1}$，即原不等式成立…（12分）

点评 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题；考查二项展开式中系数最大项的求法；考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．