Question

11．设A是圆x²+y²=4上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DA．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线V．
（1）求曲线C的标准方程；
（2）设曲线C的左右焦点分别为F₁、F₂，经过F₂的直线m与曲线C交于P、Q两点，若|PQ|²=|F₁P|²+|F₂P|²，求直线m的方程．

Answer 1

分析 （1）点A在圆x²+y²=4上运动，引起点M的运动，我们可以由DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DA得到点A和点M坐标之间的关系式，并由点A的坐标满足圆的方程得到点M坐标所满足的方程；
（2）根据|PQ|²=|F₁P|²+|F₁Q|²，得F₁P⊥F₁Q，联立直线方程和椭圆方程消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，运用设而不求的思想建立关系，求解即可．

解答 解：（1）设动点M的坐标为（x，y），点A的坐标为（x₀，y₀），
则点D坐标为（x₀，0），
由DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DA可知，x=x₀，y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$y₀，
∵点A在圆x²+y²=4上，
∴x₀²+y₀²=4．
把x₀=x，y₀=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$y₀代入圆的方程，得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
∴曲线C的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）由（1）可知F₂坐标为（1，0），
设P，Q坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
当直线m斜率不存在时易求|PQ|=3，|F₁P|=|F₂P|=2.5，
不符合题意；
当直线m斜率存在时，可设方程为y=k（x-1）．
代入方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$…*
∵|PQ|²=|F₁P|²+|F₁Q|²，
∴F₁P⊥F₁Q，即kF1P•kF1Q=-1
k²（x₁-1）（x₂-1）+（x₁+1）（x₂+1）=0，
展开并将*式代入化简得，7k²=9，
解得k=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$或k=-$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，
∴直线m的方程为y=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$（x-1），或y=-$\frac{3\sqrt{7}}{7}$（x-1）．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，考查韦达定理的运用，属于难题．