Question

19．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}$，
（Ⅰ）求证：$\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}=1$；
（Ⅱ）试问A，B，C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．
（Ⅲ）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）式子$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}$两边同乘以（a+b+c），再化简即可；
（Ⅱ）对$\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}=1$去分母并化简，由余弦定理求出cosB的值，根据B的范围和特殊角的余弦值求出B，再由内角和定理证明结论；
（Ⅲ）由正弦定理化简sinC=2sinA，由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，代入数据列出方程求出a的值，再求出c的值．

解答 证明：（Ⅰ）∵$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}$，∴$\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}=3$．（3分）
∴$\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}=1$；（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：$\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}=1$，
∴c（b+c）+a（a+b）=（a+b）（b+c），
∴b²=a²+c²-ac．（7分）
由余弦定理得，$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{ac}{2ac}=\frac{1}{2}$，（8分）
∵0°＜B＜180°，∴B=60°．（9分）
∴A+C=2B=120°，∴A，B，C成等差数列；（10分）
解：（Ⅲ）∵sinC=2sinA，∴由正弦定理得c=2a，
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，
即$9={a^2}+4{a^2}-2a•2acos\frac{π}{3}$，
解得$a=\sqrt{3}$，所以$c=2a=2\sqrt{3}$．（14分）

点评 本题考查了正弦、余弦定理，等差中项的性质，注意内角的范围，考查化简、计算能力，属于中档题．