Question

9．已知不等式f（x）=3$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+$\sqrt{6}$cos²$\frac{x}{4}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$-m≤0，对于任意的-$\frac{5π}{6}$≤x≤$\frac{π}{6}$恒成立，则实数m的取值范围是$（{\sqrt{3}，+∞}）$．

Answer 1

分析 利用根据二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，确定m的不等式关系，进而利用x的范围和正弦函数的性质确定 $\sqrt{6}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）的范围，进而求得m的范围．

解答 解：f（x）=3$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+$\sqrt{6}$cos²$\frac{x}{4}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$-m=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$cos$\frac{x}{2}$-m≤0，
∴m≥$\sqrt{6}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$），
∵-$\frac{5π}{6}$≤x≤$\frac{π}{6}$，
∴-$\frac{π}{4}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{4}$，
∴-$\sqrt{3}≤$$\sqrt{6}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）≤$\sqrt{3}$，
∴m$≥\sqrt{3}$．
故答案为：$（{\sqrt{3}，+∞}）$．

点评 本题主要考查了三角函数的化简求值，三角函数的最值问题，不等式恒成立的问题．涉及了知识面较多，考查了知识的综合性，属于中档题．