Question

14．已知$\overrightarrow{e}$和$\overrightarrow{f}$是互相垂直的单位向量，向量$\overrightarrow{{a}_{n}}$满足：$\overrightarrow{e}•\overrightarrow{{a}_{n}}$=n，$\overrightarrow{f}•\overrightarrow{{a}_{n}}$=2ⁿ，n∈N^*．设θ_n为$\overrightarrow{{a}_{n+1}}$-$\overrightarrow{{a}_{n}}$和$\overrightarrow{{a}_{n+2}}$-$\overrightarrow{{a}_{n+1}}$的夹角，则（　　）

• A． O_n随着n的增大而增大
• B． O_n随着n的增大而减小
• C． 随着n的增大，O_n先增大后减小
• D． 随着n的增大，O_n先减小后增大

Answer 1

分析 分别以 $\overrightarrow{e}$和$\overrightarrow{f}$所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则 $\overrightarrow{e}$=（1，0），$\overrightarrow{f}$=（0，1），然后根据 $\overrightarrow{e}•\overrightarrow{{a}_{n}}$=n，$\overrightarrow{f}•\overrightarrow{{a}_{n}}$=2ⁿ，n∈N^*．可求 $\overrightarrow{{a}_{n+1}}$-$\overrightarrow{{a}_{n}}$和$\overrightarrow{{a}_{n+2}}$-$\overrightarrow{{a}_{n+1}}$的坐标，进而可求出cosθ_n，结合余弦函数的单调性即可判断．

解答 解：分别以 $\overrightarrow{e}$和$\overrightarrow{f}$所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则 $\overrightarrow{e}$=（1，0），$\overrightarrow{f}$=（0，1），
设$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（x_n，y_n），
∵$\overrightarrow{e}•\overrightarrow{{a}_{n}}$=x_n=n，$\overrightarrow{f}•\overrightarrow{{a}_{n}}$=y_n=2ⁿ，
∴$\overrightarrow{{a}_{n+1}}$-$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（n+1，2ⁿ⁺¹）-（n，2ⁿ）=（1，2ⁿ），
∴$\overrightarrow{{a}_{n+2}}-\overrightarrow{{a}_{n}}$=（1，2ⁿ⁺¹），
∴cosθ_n=$\frac{（\overrightarrow{{a}_{n+1}}-\overrightarrow{{a}_{n}}）•（\overrightarrow{{a}_{n+2}}-\overrightarrow{{a}_{n+1}}）}{|\overrightarrow{{a}_{n+1}}-\overrightarrow{{a}_{n}}||\overrightarrow{{a}_{n+2}}-\overrightarrow{{a}_{n+1}}|}$$\frac{1+{2}^{2n+1}}{\sqrt{1+{2}^{2n+2}+{2}^{2n}+{2}^{4n+2}}}$=$\sqrt{1-\frac{{2}^{2n}}{1+{2}^{2n}+{2}^{2n+2}+{2}^{4n+2}}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{\frac{1}{{4}^{n}}+{4}^{n+1}+5}}$（*），
∵x∈[0，π]时，余弦函数y=cosx是单调递减函数，
当n增加时（*）递增，即cosθ_n递增，θ_n递减．
故选：B

点评 本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键是根据已知条件把所求问题坐标化．