Question

6．如图，四棱锥C-ABED中，AC=4，BC=3，四边形ABED是边长为$\sqrt{13}$的正方形，若G，F分别是线段EC，BD的中点．
（1）求证：GF∥底面ABC；
（2）若点P为线段CD的中点，求三角形GFP的面积．

Answer 1

分析 （1）证明GF平行于平面ABC内的一条直线AC即可；
（2）利用中位线定理，求出△PFG的三边长，再由余弦定理求出其中一角，即可求三角形的面积．

解答 解：（1）证明：如图所示，连接AE，
由题意知，F为AE中点，
GF为△AEC的中位线，
∴GF∥AC；
又∵AC?平面ABC，
∴GF∥平面ABC；
（2）连接PG，PF
由（1）知：GF=$\frac{1}{2}$AC=2，
同理可得：PF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$，
PG=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{\sqrt{13}}{2}$；
∴cos∠PFG=$\frac{{PF}^{2}{+GF}^{2}{-PG}^{2}}{2PF•GF}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠PFG=$\frac{π}{3}$；
∴S_△PFG=$\frac{1}{2}$PF•GF•sin∠PFG
=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了直线与平面平行的判断问题，也考查了正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．