Question

11．在钝角△ABC中，|AB|=$\sqrt{6}$，|BC|=$\sqrt{2}$，且|AC|cosB=|BC|cosA，则|AC|=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由正弦定理和已知条件可得A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，验证可得．

解答 解：∵|AC|cosB=|BC|cosA，
∴由正弦定理可得sinBcosB=sinAcosA，
∴sin2A=sin2B，
∴2A=2B或2A+2B=π，
∴A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，
当A+B=$\frac{π}{2}$时，三角形为直角三角形，不合题意，
当A=B时，三角形为等腰三角形，此时|AC|=$\sqrt{2}$，
∵|AB|=$\sqrt{6}$，|BC|=$\sqrt{2}$，|AC|=$\sqrt{2}$，
∴cosC=$\frac{2+2-6}{2×\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$＜0，C为钝角，三角形为钝角三角形
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查解三角形，涉及正弦定理和三角形形状的判定，属基础题．