Question

19．已知函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-x），g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1+x）
（1）设函数F（x）=f（x）-g（x），求F（-$\frac{3}{5}$）的值；
（2）若x∈[0，1]，f（m-2x）≤$\frac{1}{2}$g（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用代入法，结合对数的运算性质，可得函数值；
（2）由对数函数的单调性，可得即（1-m+2x）²≥1+x对x∈[0，1]恒成立，即有1-m≥$\sqrt{1+x}$-2x，令t=$\sqrt{1+x}$（1≤t≤$\sqrt{2}$），由二次函数的值域求法，可得最大值，即可求得m的范围．

解答 解：（1）函数F（x）=f（x）-g（x）
=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-x）-log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1+x），
则F（-$\frac{3}{5}$）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1+$\frac{3}{5}$）-log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-$\frac{3}{5}$）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$4=-2；
（2）x∈[0，1]，f（m-2x）≤$\frac{1}{2}$g（x）恒成立，
即为log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-m+2x）≤$\frac{1}{2}$log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1+x），
即（1-m+2x）²≥1+x对x∈[0，1]恒成立，
即有1-m≥$\sqrt{1+x}$-2x，
令h（x）=$\sqrt{1+x}$-2x，令t=$\sqrt{1+x}$（1≤t≤$\sqrt{2}$），
即有x=t²-1，
则y=t-2（t²-1）=-2（t-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{17}{8}$，
由[1，$\sqrt{2}$]为减区间，则t=1取得最大值1，
则1-m≥1，解得m≤0．
即m的范围为（-∞，0]．

点评 本题主要考查函数恒成立问题，运用参数分离和换元法，二次函数的最值求法是解题的关键．