Question

7．已知幂函数f（x）=x${\;}^{{m}^{2}-2m-3}$（m∈N^*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，求满足（a+1）${\;}^{\frac{m}{2}}$＜（3-2a）${\;}^{\frac{m}{2}}$的实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据幂函数的图象与性质，求出m的值，再把不等式（a+1）${\;}^{\frac{m}{2}}$＜（3-2a）${\;}^{\frac{m}{2}}$化为等价的不等式组，
求出它的解集即可．

解答 解：∵幂函数f（x）=x${\;}^{{m}^{2}-2m-3}$的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，
∴m²-2m-3＜0，
解得-1＜m＜3；
又m∈N^*，
∴当m=1时，1²-2×1-3=-4，满足题意；
当m=2时，2²-2×2-3=-3，不满足题意；
∴不等式（a+1）${\;}^{\frac{m}{2}}$＜（3-2a）${\;}^{\frac{m}{2}}$化为
$\sqrt{a+1}$＜$\sqrt{3-2a}$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a+1≥0}\\{3-2a≥0}\\{a+1＜3-2a}\end{array}\right.$，
解这个不等式，得实数a的取值范围是-1≤a＜$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题目．