Question

15．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若2a=b+c，则$\frac{tanA}{tanB}+\frac{tanA}{tanC}$的最大值是2．

Answer 1

分析 由题意可得b²+c²≥2a²，化简所给的式子为$\frac{{sin}^{2}A}{cosAsinBsinC}$，再利用正弦定理和余弦定理的应用化为$\frac{{2a}^{2}}{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}$，由此可得它的最大值．

解答 解：在锐角△ABC中，由题意可得2a=b+c，b²+c²≥$\frac{{（b+c）}^{2}}{2}$=2a²，当且仅当b=c时，取等号．
$\frac{tanA}{tanB}+\frac{tanA}{tanC}$=$\frac{sinAcosB}{cosAsinB}$+$\frac{sinAcosC}{cosAsinC}$=$\frac{sinAsinCcosB+sinAsinBcosC}{cosAsinBsinC}$=$\frac{sinA•sin（B+C）}{cosAsinBsinC}$=$\frac{{sin}^{2}A}{cosAsinBsinC}$ 
=$\frac{{a}^{2}}{bc•cosA}$=$\frac{{a}^{2}}{\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2}}$=$\frac{{2a}^{2}}{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}$≤$\frac{{2a}^{2}}{{2a}^{2}{-a}^{2}}$=2，
故则$\frac{tanA}{tanB}+\frac{tanA}{tanC}$的最大值是2，
故答案为：2．

点评 本题主要考查基本不等式，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．