Question

18．已知各项均为正数的两个数列{a_n}和{b_n}满足：a_n+1=$\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{{b}_{n}}^{2}}}$，b_n+1=1+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，n∈N^*，
（1）求证：数列{（$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$）²}是等差数列；
（2）若a₁=b₁=1，令（$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$）²=$\frac{1}{{c}_{n}}$，求证：$\frac{1}{{{c}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{c}_{2}}^{2}}$+$\frac{1}{{{c}_{3}}^{2}}$+…+$\frac{1}{{{c}_{n}}^{2}}$＜2．

Answer 1

分析 （1）通过对$\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{{b}_{n}}^{2}}}$分子分母同除以a_n，利用b_n+1=$\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{{a}_{n}}$，即得$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{1+（\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}）^{2}}$，两边取平方整理即得结论；
（2）通过（1）及a₁=b₁=1，可得c_n=$\frac{1}{n}$，通过放缩、裂项可得当n≥2时$\frac{1}{{{c}_{n}}^{2}}$＜$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，并项相加即可．

解答 证明：（1）∵b_n+1=1+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{{a}_{n}}$，
∴a_n+1=$\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{{b}_{n}}^{2}}}$=$\frac{\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{{a}_{n}}}{\frac{\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{{b}_{n}}^{2}}}{{a}_{n}}}$=$\frac{{b}_{n+1}}{\sqrt{1+（\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}）^{2}}}$，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{1+（\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}）^{2}}$，
∴（$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$）²-（$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$）²=（$\sqrt{1+（\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}）^{2}}$）²-（$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$）²=1，
∴数列{（$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$）²}是以1为公差的等差数列；
（2）∵a₁=b₁=1，
∴$\frac{1}{{c}_{n}}$=（$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$）²=n，
∴c_n=$\frac{1}{n}$，
∴当n≥2时，$\frac{1}{{{c}_{n}}^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{1}{{{c}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{c}_{2}}^{2}}$+$\frac{1}{{{c}_{3}}^{2}}$+…+$\frac{1}{{{c}_{n}}^{2}}$＜1+（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）
=2-$\frac{1}{n}$
＜2．

点评 本题考查等差数列的判断、数列和的取值范围，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．