Question

8．已知f₁（x）=sinx+cosx，f _n+1（x）是f_n（x）的导函数，即f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x），…，f _n+1（x）=f_n′（x），n∈N^*，则f₁（x）+f₂（x）+…+f ₂₀₁₁（x）=（　　）

• A． -sinx+cosx
• B． sinx-cosx
• C． -sinx-cosx
• D． sinx+cosx

Answer 1

分析 根据题意和求导公式依次求出f₂（x）、f₃（x）、f₄（x）、f ₅（x），求出函数的周期，利用周期性求出式子的和．

解答 解：由题意得，f₁（x）=sinx+cosx，
∴f₂（x）=f₁′（x）=cosx-sinx，f₃（x）=f₂′（x）=-sinx-cosx，
f₄（x）=f₃′（x）=-cosx+sinx，f₅（x）=f₄′（x）=sinx+cosx，…，
∴f_n（x）的周期是4，且f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f ₄（x）=0，
f₁（x）+f₂（x）+…+f ₂₀₁₁（x）=502[f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f ₄（x）]+f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）
=（sinx+cosx）+（-sinx+cosx）+（-sinx-cosx）=-sinx+cosx，
故选：A．

点评 本题考查求导公式和法则，以及函数周期性的应用，属于基础题．