Question

3．求下列各题中的函数f（x）的解析式．
（1）已知f（$\sqrt{x}+2$）=x+4$\sqrt{x}$，求f（x）
（2）已知函数t=f（x）满足2f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）

Answer 1

分析 （1）利用换元法设t=$\sqrt{x}$+2（t≥2），则$\sqrt{x}$=t-2，代入求出即可；（2）将x换成$\frac{1}{x}$，则$\frac{1}{x}$换成x，解出f（x）即可．

解答 解：（1）设t=$\sqrt{x}$+2（t≥2），则$\sqrt{x}$=t-2，即x=（t-2）²，
∴f（t）=（t-2）²+4（t-2）=t²-4，
∴f（x）=x²-4（x≥2）．
（2）由2f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=2x，①
将x换成$\frac{1}{x}$，则$\frac{1}{x}$换成x，得2f（$\frac{1}{x}$）+f（x）=$\frac{2}{x}$，②
①×2-②，得3f（x）=4x-$\frac{2}{x}$，
∴f（x）=$\frac{4}{3}$x-$\frac{2}{3x}$．

点评 本题考查了求函数的解析式问题，换元法是常用方法之一，本题是一道基础题．