Question

15．设数列{a_n}满足a_n=3a_n-1+2（n≥2，n∈N⁺），且a₁=2，b_n=log₃（a_n+1）．
（1）证明：数列{a_n+1}为等比数列；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}满足a_n=3a_n-1+2（n≥2，n∈N⁺），变形为a_n+1=3（a_n-1+1），即可证明；
（2）由（1）可得：a_n=3ⁿ-1．由b_n=log₃（a_n+1），可得b_n=$lo{g}_{3}（{3}^{n}+1-1）$=n．a_nb_n=n•（3ⁿ-1）=n•3ⁿ-n．利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵数列{a_n}满足a_n=3a_n-1+2（n≥2，n∈N⁺），
∴a_n+1=3（a_n-1+1），
∴数列{a_n+1}为等比数列，首项为3，公比为3；
（2）解：由（1）可得：a_n=3ⁿ-1．
∵b_n=log₃（a_n+1），∴b_n=$lo{g}_{3}（{3}^{n}+1-1）$=n．
∴a_nb_n=n•（3ⁿ-1）=n•3ⁿ-n．
令T_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ，
∴3T_n=3²+2×3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=3+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{1-2n}{2}$•3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$，
∴T_n=$\frac{2n-1}{4}•{3}^{n+1}$+$\frac{3}{4}$．
∴数列{a_nb_n}的前n项和S_n=$\frac{2n-1}{4}•{3}^{n+1}$+$\frac{3}{4}$-$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题