Question

17．已知函数f（x）=2x-$\frac{a}{x}$的定义域为（0，1]（其中a是实数）
（1）当a=-1时，求函数y=f（x）的值域；
（2）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求实数a的取值范围；
（3）求不等式f（x）≥0的解集．

Answer 1

分析 （1）a=-1时，f（x）=2x+$\frac{1}{x}$（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]上递减，在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）递增，继而求出函数的值域；
（2）先求导数f′（x），由已知可得f′（x）≤0在（0，1]恒成立，运用参数分离，求出右边的最小值即可；
（3）根据a的值进行分类讨论，得到不等式的解集．

解答 解：（1）a=-1时，f（x）=2x+$\frac{1}{x}$在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]上为递减，
在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）递增，
∴当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，函数有最小值为f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=2$\sqrt{2}$，
当x→0时，f（x）→+∞，
故函数y=f（x）的值域为[2$\sqrt{2}$，+∞）；
（2）f（x）=2x-$\frac{a}{x}$的定义为x≠0，
∴f′（x）=2+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{2{x}^{2}+a}{{x}^{2}}$，
∵函数y=f（x）在定义域上是减函数，
∴f′（x）≤0在（0，1]恒成立，
∴$\frac{2{x}^{2}+a}{{x}^{2}}$≤0，
即a≤-2x²，
由于-2x²在（0，1]递减，则最小值为-2．
则a≤-2．
（3）f（x）=2x-$\frac{a}{x}$≥0，x∈（0，1]，
∴2x²-a≥0，
即x²≥$\frac{a}{2}$，
当a≤0时，解得0＜x≤1，
当a＞0时，解得x≥$\frac{\sqrt{2a}}{2}$，
当0＜a＜2时，解得$\frac{\sqrt{2a}}{2}$≤x≤1，
当a=2时，解得x=1，
当a＞2时，无解，
综上所述，当a≤0时，解集为（0，1]，
当0＜a＜2时，解集为[$\frac{\sqrt{2a}}{2}$，1]，
当a=2时，解集为{1}，
当a＞2时，解集为∅．

点评 本题考查已知函数的单调性求参数的范围，注意运用导数求解，同时也可以运用单调性的定义，以及不等式的解法，考查运算能力分类讨论的能力，属于中档题