Question

2．已知函数f（x）=|x-1|+|x-a|．
（1）若a=2，解不等式f（x）≤2；
（2）若对任意的x∈R，恒有f（x）≥2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）≤2的解集．
（2）由绝对值的意义求得f（x）的最小值为|a-1|，可得|a-1|≥2，由此求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）若a=2，不等式f（x）≤2，即|x-1|+|x-2|≤2．
而|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1、2对应点的距离之和，
而2.5和1.5对应点到1、2对应点的距离之和正好等于2，
故不等式f（x）≤2的解集为[1.5，2.5]．
（2）由于函数f（x）=|x-1|+|x-a|表示数轴上的x对应点到1、a对应点的距离之和，
它的最小值为|a-1|，∴|a-1|≥2，
可得a-1≥2 或a-1≤-2，求得a≥3 或a≤-1．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．