Question

16．已知椭圆C₁，抛物线C₂的焦点均在x轴上，从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录于下表中：

x	-$\sqrt{2}$	2	$\sqrt{6}$	9
y	$\sqrt{3}$	-$\sqrt{2}$	-1	3

（1）求椭圆C₁和抛物线C₂的标准方程．
（2）过椭圆C₁右焦点F的直线l与此椭圆相交于A，B两点，若点P为直线x=4上任意一点，试证：直线PA，PF，PB的斜率成等差数列．

Answer 1

分析 （1）设抛物线C₂：y²=2px（p≠0），则有$\frac{{y}^{2}}{x}$=2p，据此验证（2，-$\sqrt{2}$）、（9，3）在抛物线上，易求C₂：y²=x，设C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a＞b＞0，把点（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$），（$\sqrt{6}$，-1）代入方程，能够求出C₁方程．
（2）讨论直线AB的斜率为0，不为0，设出A，B，P，F的坐标，由直线的斜率公式，联立椭圆方程，消去x，得到含y的方程，运用韦达定理和斜率公式，化简整理，结合等差数列的性质，即可得证．

解答 解：（1）设抛物线C₂：y²=2px（p≠0），则有$\frac{{y}^{2}}{x}$=2p，
据此验证4个点中知（2，-$\sqrt{2}$）、（9，3）在抛物线上，
易求C₂：y²=x；
设C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a＞b＞0，
把点（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$），（$\sqrt{6}$，-1）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{6}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=8}\\{{b}^{2}=4}\end{array}\right.$，
∴C₁方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）证明：当直线AB的斜率为0，
则A（-2$\sqrt{2}$，0），B（2$\sqrt{2}$，0），F（2，0），
设P（4，t），则k_PA+k_PB=$\frac{t}{4+2\sqrt{2}}$+$\frac{t}{4-2\sqrt{2}}$=t，
k_PF=$\frac{t}{4-2}$=$\frac{1}{2}$t，
则k_PA+k_PB=2k_PF，即直线PA，PF，PB的斜率成等差数列．
当直线AB的斜率不为0，设AB的方程为x=my+2，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F（2，0），P（4，t），
代入椭圆方程x²+2y²=8，
可得（2+m²）y²+4my-4=0，y₁+y₂=-$\frac{4m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-4}{2+{m}^{2}}$，
则k_PA+k_PB=$\frac{t-{y}_{1}}{4-{x}_{1}}$+$\frac{t-{y}_{2}}{4-{x}_{2}}$=$\frac{t-{y}_{1}}{2-m{y}_{1}}$+$\frac{t-{y}_{2}}{2-m{y}_{2}}$=$\frac{4t-（2+mt）（{y}_{1}+{y}_{2}）+2m{y}_{1}{y}_{2}}{4+{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-2m（{y}_{1}+{y}_{2}）}$
=$\frac{4t-（2+mt）•\frac{-4m}{2+{m}^{2}}+2m•\frac{-4}{2+{m}^{2}}}{4+{m}^{2}•\frac{-4}{2+{m}^{2}}-2m•\frac{-4m}{2+{m}^{2}}}$=t，
k_PF=$\frac{t}{4-2}$=$\frac{1}{2}$t，
则有k_PA+k_PB=2k_PF，即直线PA，PF，PB的斜率成等差数列．
故直线PA，PF，PB的斜率成等差数列．

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法、直线的斜率公式和等差数列的性质及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．