Question

7．已知f（x）是二次函数，其函数图象经过（0，2），y=f（x+1）当x=0时取得最小值1．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求f（x）在[k，k+1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据f（x+1）在x=0时取得最小值1可设f（x+1）=ax²+1，从而得到f（x）=a（x-1）²+1，根据f（x）的图象过点（0，2）可求出a=1，从而得出f（x）解析式；
（2）f（x）的对称轴为x=1，讨论区间[k，k+1]的端点和对称轴的关系：k+1＜1，k≤1≤k+1，k＞1，根据二次函数的单调性及顶点情况便可求出每种情况的f（x）在[k，k+1]上的最小值．

解答 解：（1）由条件可得f（x+1）=ax²+1；
∴f（x）=a（x-1）²+1；
由f（0）=a+1=2得a=1；
∴f（x）=（x-1）²+1；
（2）①当k+1＜1，即k＜0时，最小值g（k）=f（k+1）=k²+1；
②当k＞1时，最小值g（k）=f（k）=（k-1）²+1；
③当0≤k≤1时，最小值g（k）=f（1）=1；
综上g（k）=$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}+1}&{k＜0}\\{1}&{0≤k≤1}\\{（k-1）^{2}+1}&{k＞1}\end{array}\right.$．

点评 考查待定系数求函数解析式的方法，二次函数的对称轴，以及根据函数的单调性及取得顶点情况求二次函数最小值的方法．