Question

19．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n²+n，n∈N^*，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记数列{b_n}满足a_n=4log₂b_n+3，求数列{a_n+b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n+1=S_n+1-S_n计算即得结论；
（2）通过将a_n=4n-1代入a_n=4log₂b_n+3可知b_n=2^n-1，求出数列{b_n}的前n项和再加上S_n即为所求．

解答 解：（1）∵S_n=2n²+n，
∴S_n+1=2（n+1）²+n+1，
两式相减得：a_n+1=2（n+1）²+n+1-[2n²+n]=4（n+1）-1，
又a₁=S₁=2+1=3满足上式，
∴数列{a_n}的通项a_n=4n-1；
（2）∵a_n=4n-1，
∴4n-1=4log₂b_n+3，
∴log₂b_n=n-1，
∴b_n=2^n-1，
∴数列{b_n}的前n项和为$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
又∵数列{a_n}的前n项和S_n=2n²+n，
∴数列{a_n+b_n}的前n项和T_n=2ⁿ-1+2n²+n=2ⁿ+2n²+n-1．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．