Question

14．在△ABC中，内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列．
（1）若sinA，sinB，sinC 成等差数列，试判断△ABC的形状；
（2）若B=30°，S_△ABC=$\frac{3}{2}$，求b．

Answer 1

分析 （1）通过a、b、c成等差数列可得b=$\frac{a+c}{2}$，通过sinA，sinB，sinC成等比数列并利用正弦定理可得b×b=a×c，进而计算可得结论；
（2）通过S_△ABC=$\frac{1}{2}•ac•sinB$可得ac=6，结合2b=a+c并利用余弦定理计算即得结论．

解答 解：（1）结论：△ABC为等边三角形．
理由如下：
∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，∴b=$\frac{a+c}{2}$，
∵sinA，sinB，sinC成等比数列，
∴sinB×sinB=sinA×sinC，
又∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴b×b=a×c，
∴（$\frac{a+c}{2}$）²=ac，
即：（a-c）²=0，
∴a=c=$\frac{a+c}{2}$=b，
∴△ABC为等边三角形；
（2）∵B=30°，S_△ABC=$\frac{3}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}•ac•sinB$=$\frac{1}{2}$ac•sin30°=$\frac{ac}{4}$=$\frac{3}{2}$，
∴ac=6，
又∵2b=a+c，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$
=$\frac{（a+c）^{2}-2ac-{b}^{2}}{2ac}$
=$\frac{4{b}^{2}-2ac-{b}^{2}}{2ac}$
=$\frac{3{b}^{2}-2ac}{2ac}$
=$\frac{3{b}^{2}-12}{12}$
=cos30°
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴b=$\sqrt{3}+1$或-（$\sqrt{3}+1$）（舍），
∴b=$\sqrt{3}+1$．

点评 本题是一道数列与三角函数的综合题，涉及等比、等差数列，正弦、余弦定理，三角形面积公式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．