Question

9．若动点P在直线l₁：x-y+1=0上，动点Q在直线l₂：x+y-7=0上，且|PQ|=2，设线段PQ的中点为M（x₀，y₀），则x₀²+y₀²的取值范围是[16，36]．

Answer 1

分析 设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．利用中点坐标公式可得：${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$．又x₁-y₁+1=0，x₂+y₂-7=0，可得y₂-y₁=6-2x₀，x₂-x₁=8-2y₀．利用|PQ|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$可得$（{x}_{0}-3）^{2}+（{y}_{0}-4）^{2}$=1．由于$\sqrt{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}$表示的是上述圆上的点到原点的距离，即可得出．

解答 解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
则${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$．
又x₁-y₁+1=0，x₂+y₂-7=0，
∴y₂-y₁=6-（x₁+x₂）=6-2x₀，
x₂-x₁=8-（y₁+y₂）=8-2y₀．
∴|PQ|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（8-2{x}_{0}）^{2}+（6-2{x}_{0}）^{2}}$=2，
化为$（{x}_{0}-3）^{2}+（{y}_{0}-4）^{2}$=1．
∵$\sqrt{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}$表示的是上述圆上的点到原点的距离，而$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴4≤$\sqrt{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}$≤6，
∴x₀²+y₀²的取值范围是[16，36]．
故答案为：[16，36]．

点评 本题考查了两点之间的距离公式、原点标准方程及其应用、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．