Question

20．已知动圆P过定点A（-3，0），且与圆B：（x-3）²+y²=64相切，点P的轨迹为曲线C．设Q为曲线C上（不在x轴上）的动点，过点A作OQ的平行线交曲线C于M，N两点．
（1）求曲线C的方程；
（2）求△MNQ的面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件推导出点P到两定点A（-3，0）和B（3，0）距离之和等于定圆B的半径，由此能求出曲线C的方程；
（2）通过MN∥OQ，知S=S_△MNQ=S_△MNO=$\frac{1}{2}$|OA|•|y₁-y₂|=$\frac{3}{2}$|y₁-y₂|，由此利用均值不等式能求出最大值．

解答 解：（1）∵动圆P过定点A（-3，0），且与圆B：（x-3）²+y²=64相切，
∴点P到两定点A（-3，0）和B（3，0）距离之和等于定圆B的半径，
∴|PA|+|PB|=8，
∴点P的轨迹是以A、B为焦点，半长轴为4的椭圆，
∴曲线C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{7}$=1；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₃，y₃），
∵Q不在x轴上，
∴设直线OQ：x=my，
∵过点A作OQ的平行线交曲线C于M，N两点，
∴直线MN：x=my-3，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my-3}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{7}=1}\end{array}\right.$，消去x、整理得：
（7m²+16）y²-42my-49=0，
∴y₁+y₂=$\frac{42m}{7{m}^{2}+16}$，y₁y₂=-$\frac{49}{7{m}^{2}+16}$，
∵MN∥OQ，
∴S=S_△MNQ=S_△MNO=$\frac{1}{2}$|OA|•|y₁-y₂|=$\frac{3}{2}$|y₁-y₂|=$\frac{3}{2}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{3}{2}$•$\frac{56\sqrt{1+{m}^{2}}}{9+7（1+{m}^{2}）}$=$\frac{3×28\sqrt{1+{m}^{2}}}{9+7（1+{m}^{2}）}$=$\frac{3×28}{\frac{9}{\sqrt{1+{m}^{2}}}+7\sqrt{1+{m}^{2}}}$≤2$\sqrt{7}$，
当且仅当m²=$\frac{2}{7}$时取等号，
∴所求最大值为2$\sqrt{7}$．

点评 本题是一道关于直线与圆锥曲线的综合题，考查曲线方程的求法，考查最大值的求法，涉及韦达定理、三角形面积公式基本不等式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．